sábado, 7 de julio de 2018

Las Matemáticas de los Exoplanetas, explicadas FÁCIL. 1. Velocidad Radial.

Iniciamos una serie de entradas sobre las matemáticas de los exoplanetas. Pretendemos mostrar las principales ecuaciones partiendo de un nivel de matemáticas elemental, pero permitiendo unos cálculos más que razonables.

La técnica de la velocidad radial ha permitido descubrir los exoplanetas más cercanos al Sistema Solar. Fue la técnica aplicada para descubrir en 1995 el exoplaneta 51 Pegasi b, que asombró al Mundo por ser el primero descubierto en otra estrella del tipo solar. También es la técnica aplicada para detectar el exoplaneta Proxima b, en la estrella más cercana a nosotros.

Como sabemos, cuando un planeta orbita alrededor de una estrella, en realidad lo que ocurre es que tanto el planeta como la estrella orbitan en torno a un centro de masas común. El pequeño planeta describe su órbita mientras la estrella, mucho más masiva, realiza una pequeña órbita. Es decir, el planeta produce un pequeño ”bamboleo” sobre la estrella que a veces puede ser detectado.

El método de la velocidad radial detecta movimientos en la estrella causados por el planeta, detectables por el efecto Doppler. (Fuente: ESO.)

Aunque el planeta realmente no sea visible directamente, por ser su luz demasiado tenue, si podemos medir el pequeño “bamboleo” que induce en la estrella, podremos saber que hay un exoplaneta. El principal parámetro de la técnica de la velocidad radial es la “intensidad” de este “bamboleo” que el planeta induce en la estrella, medido como la pequeña velocidad a la que la estrella se mueve en la pequeña órbita. Es llamado K.

1. La Ecuación de la velocidad orbital.

La primera ecuación es muy útil. La conocen bien todos los aficionados a la astronáutica, porque describe el movimiento de los satélites y los cuerpos que orbitan en órbitas circulares (para simplificar no consideramos órbitas excéntricas).

Para deducirla basta con plantear que en una órbita circular se igualan la fuerza atractiva de la gravedad con la centrífuga y despejar la velocidad. Al final, la velocidad del satélite depende de la masa del cuerpo sobre el que orbita, G (constante de gravitación) y R, la distancia del satélite al planeta.


La ecuación no sólo se aplica a satélites orbitando sobre la Tierra, también describe el movimiento de los planetas en torno al Sol. En el siguiente ejemplo se utiliza para calcular la velocidad de la Tierra, Venus, Júpiter y Saturno.


2.  Conservación del momentum.

El sistema planeta-estrella conserva el Momentum y, por tanto, es posible calcular la velocidad de la estrella (el “bamboleo”), en función de la velocidad del planeta.

Como ejemplo calculamos la K de algunos planetas del Sistema Solar, partiendo de las velocidades orbitales del apartado anterior.



Actualmente, los espectrógrafos más precisos rara vez mejoran 1 m/s, con la excepción de HARPS Y HARPS-N, que pueden estar en 0,3-0,5 m/s. Si observásemos un sistema planetario como el Sistema Solar, únicamente detectaríamos Júpiter y Saturno. Nuestro sistema parecería bastante aburrido…
Por suerte, este año 2018 entrará en funcionamiento ESPRESSO, que será mucho más preciso, y que va a estar muy cerca de 0,1 m/s.


3 Ecuación de K.

Finalmente, combinando las dos expresiones anteriores, obtenemos una ecuación que puede ser obtenida para calcular K (el “bamboleo”) o que puede ser utilizada para deducir la masa del exoplaneta partiendo de K.


En el ejemplo, calculamos la K de 51 Pegasi b, el primer planeta descubierto en una estrella del tipo solar en 1995. Fue descubierto por ELODIE, que tenía una precisión de 12 m/s. Este planeta es un Hot Jupiter. Está muy cerca de la estrella y es muy masivo, y es por eso por lo que su K es tan elevada, de más de 55 m/s. Durante la década de los 90 la mayoría de los planetas detectados eran de este tipo.

El último ejemplo es el cálculo de la masa de Proxima Centauri b, un planeta detectado en 2016.


4. La Ecuación Completa de K.

Ahora entramos en temas más complejos para los que quieran profundizar. La ecuación que utilizan los astrónomos no es demasiado diferente de la que hemos utilizado. Es totalmente equivalente:

(Fuente: A diversity of Exoplanets. COURSERA. Universidad de Ginebra.)

La ecuación se obtiene derivando la ecuación de la elipse en coordenadas polares proyectada sobre el eje de observación y luego aplicando la Tercera Ley de Kepler. (desde el baricentro). Es básicamente la misma ecuación, aunque hay alguna diferencia que no hemos incorporado porque:
  • No tiene la masa, sino masa sin(i), siendo este ángulo i desconocido casi siempre. Hay que tener en cuenta que son velocidades radiales y están proyectadas sobre el eje de observación. El ángulo i es la inclinación del sistema planetario con el eje de referencia, perpendicular al de observación. Si el sistema planetario lo vemos “de canto” el ángulo es 90 grados y el seno vale 1. Si está “de cara” el ángulo es 0 grados y no se puede medir la masa y esta técnica no funciona.
  • Hay un término que incorpora e, la excentricidad, para tratar órbitas excéntricas.
  • Finalmente la ecuación muestra P, el periodo orbital. Se obtiene aplicando la Tercera Ley de Kepler sobre nuestra ecuación. Los astrónomos se sienten más cómodos hablando de periodos. Típicas son las expresiones del tipo: “Se ha detectado una señal de 11,3 días …”
  • C toma el valor de 4.740,47.



En fin, espero que os haya sido útil.

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